De siste 10-15 årene jeg praktiserte i PP-tjenesten begynte jeg å gjøre erfaringer med at ungdomsskoleelever som strevde med matematikkfaget ofte hadde et felles problem: De forstod ikke alltid sammenhenger mellom viktige regneoperasjoner. Blant annet la jeg merke til at de kunne streve med å forstå sammenhengen mellom addisjon og multiplikasjon, eller i alle fall å forstå dette så godt at de kunne gi en god, generell forklaring på dette. Grunnen til at jeg ikke hadde lagt merke til dette tidligere, skyldtes nok flere forhold: For det første har jeg selv alltid likt dette faget og implisitt forstått en del  sammenhenger uten å ha behov for noe slik forklaring, og derfor regnet med at dette også gjaldt for andre. For det andre hadde disse elevene rent teknisk ikke problemer med utføring av addisjon- og multiplikasjonsstykker. Og for det tredje svarte de nesten alltid «ja», når jeg spurte dem om de forstod denne sammenhengen, noe de kanskje - men ikke nødvendigvis - også selv trodde at de gjorde. Det var først når jeg spurte dem nærmere om dette, at det gikk opp for meg at en dybdeforståelse og en generalisert forståelse ikke var til stede.


Jeg er selv av den oppfatning at det å forstå faktiske sammenhenger av ulike regneoperasjoner er viktig for at elever skal opplevde dette faget som meningsfullt, for at de skal kunne spare unødvendig energi og tid ved bruk av omstendelige prosedyrer, for at de gjennom å oppdage slike logiske forbindelser skal kunne tilegne seg en større helhetsforståelse, og fordi slike sammenkoblinger ville kunne gi dem større kapasitet til å utnytte arbeidsminnet sitt.


På bakgrunn av disse erfaringene har jeg derfor i økende grad satt av tid til å intervjue elever med matematikkvansker blant annet med fokus på slike sammenhenger. En annen, også relevant sammenheng, er sammenhenger mellom divisjon, brøkregning og ulike måleenheter, som jeg også har samtalt mye med ungdomsskoleelever om. Her vil jeg snakke om addisjon og multiplikasjon, og jeg har derfor laget et konstruert intervju som dekker mye av det som ofte har framkommet ved slike intervjuer (/samtaler). Dette eksemplet er relativt detaljert. Det henger sammen med min erfaring av at mange elever som over lengre tid har opplevd mye ikke-mestring i matematikkfaget også opparbeider emosjonelle sperrer (les: «panikk») i møte med matematiske oppgaver, SÆRLIG når de må begrunne hvorfor de gjør det de gjør (og derfor ofte må si «jeg vet ikke» fremfor «jeg forstår ikke» -som er mer pinlig å måtte si) på samme måte som en dyslektiker opparbeider emosjonelle sperrer ved lesing og skriving av tekster. Slik sperrer gjør det derfor viktig å snakke med slike elever i en avslappet kontekst uten stress og mas der man følger elevens prosess og sørger for at eleven «får det inn med teskjeer» der det er behov for det, selv om det ikke alltid har vært nødvendig å gå like detaljert til verks som i dette eksemplet. Prinsippet er i alle fall at man ikke forserer denne prosessen raskere enn det at eleven hele tiden er «med», men heller ikke gå så sakte fram at det hele fremstår som kjedelig, naivt og trivielt. Så i praksis blir nok det faktiske innholdet av et slikt intervju alltid til underveis, noe som derfor stiller krav til at den som intervjuer er god på relasjoner, kan lytte og vise fleksibilitet.

De som kjenner til Magne Nyborgs prinsipper for «Systematisk Begrepsinnlæring» vil her kunne se at jeg bruker mye av hans prinsipper og følger mye av den samme prosedyren - 1. Assosiering. 2. Diskriminering. 3 Generalisering – med vektlegging av positive tilbakemeldinger, en sakte progresjon, mestringsopplevelser, kontekstvariasjon og et presist språk.

Til slutt en tilleggskommentar: En slik innfallsvinkel til det som jeg her presenterer er i samsvar med det jeg har skrevet om et annet sted, om betydningen av elevers delaktighet i egen utredning (Se artikkel her).

ET KONSTRUERT INTERVJU


Du, det er en ting jeg har lyst å spørre deg om nå som vi snakker om matematikk: Vet du noe om likheten og forskjellen på pluss og ganger?

Ja, likheten er vel det at begge går oppover.

Ja, det stemmer. Vet du noe om forskjellen?

Ja, det er vel det at ganger går mye fortere oppover.

Ja, det er jeg enig i. Men så lurer jeg også på en annen ting: Er det noen sammenheng mellom pluss og ganger?

Ja det er det sikkert.

Vet du noe om den sammenhengen?

Nei, egentlig ikke

Er du interessert i at jeg prøver å forklare deg det?

Ja, det kan du godt.

Flott! Det første jeg vil spørre deg om da er følgende: Visste du at et plusstykke noen ganger kan gjøres om til et gangestykke?

Nei.

OK. Da skal jeg vise deg det. Følge med nå. Nå skriver jeg følgende 2 + 2. Hvor mye blir det?

Det blir 4.

Tror du det kan gjøres om til et gangestykke?

Det er jeg ikke så sikker på.

Hvis du ser på 2 + 2: Hvor mange ganger står 2-tallet?

Det står to ganger.

Det stemmer. Tenk nå etter hva du selv sier: Du sier at det står «2 to ganger». Synes du det høres ut som et gangestykke?

Det er jeg ikke helt sikker på.

OK. La oss skrive ned «2 to ganger» på et papir. Hva står det hvis du bytter om på de to siste ordene?

Da står det 2 ganger 2.

Nemlig! Men er ikke det da et gangestykke?

Jooo, det er jo det.

Betyr det at 2 + 2 betyr det samme som 2 x 2?

Ja, det gjør jo det da.

Ja, ser du her at du har gjort et plusstykke om til et gangestykke?

Ja, jeg har jo det.

Veldig bra! Har du noen ganger tenkt på at det er mulig?

Nei, egentlig ikke.

Så da har du faktisk lært noe nytt i matematikk nå da?

Ja!

Så bra! Kanskje det også er slik at du egentlig har skjønt dette hele tiden, men bare ikke snakket om det eller tenkt på den måten?

Ja, det er nok riktig.

Ja, slik er det med mye i matematikken: Vi skjønner ofte mer enn det vi tror vi skjønner. Og slik er det fordi vi ikke bruker nok tid til å prate om det vi på en måte skjønner. Er det noe du kjenner deg igjen i?

Ja, det kjenner jeg igjen.

Flott! Da har du oppdaget at et plusstykke noen ganger kan gjøres om til et gangestykke. Men nå vil jeg gjerne spørre deg om noe annet med pluss og ganger. Er det greit?

Ja, det kan du godt.

Flott! Og det jeg da vil spørre om er dette: Når kan man gjøre om et plusstykke til et gangestykke og når kan man ikke gjøre det?

Nei, det vet jeg ikke.

Skal jeg prøve å forklare deg det?

Gjerne det.

Flott! Se nå her: Når skriver jeg 2 + 2 + 2 + 2 + 2. Hvor mye blir det?

Det blir 10.

Det stemmer! Hvordan regnet du ut det?

Jeg tenkte: 2 + 2 blir 4. 4 + 2 blir 6. 6 + 2 blir 8. Og 8 + 2 blir 10.

Ja, der regnet du riktig. Tror du at du kunne regne ut dette på en annen måte også?

Nei, jeg vet ikke.

Husker du hvordan du oppdaget at 2 + 2 ble til 2 x 2?

Ja.

Kan du gjøre det samme her?

Ja, det kan jeg sikkert.

Men hvordan?

Nei det er jeg ikke helt sikker på.

OK. Skal jeg vise deg det?

Ja, gjerne det.

Flott!  Se nå her: Du skriver  2 + 2 + 2 + 2 + 2. Hvor mange ganger står nå 2-tallet?

Det står 5 ganger.

Det stemmer. Hvis du prøver å tenke som du tenkte da 2 + 2 betydde 2 x 2, hva kan du da tenke om 2 + 2 + 2 + 2 + 2? Hvor mange ganger står 2-tallet?

Det står 5 ganger.

Nemlig! Kan man da si at 2 + 2 + 2 + 2 + 2 betyr det samme som 2 x 5?

Ja.

Så her var det også mulig å gjøre om plusstykket til et gangstykke?

Ja.

Hva da med 2 + 2 + 2? Kan det også bli et gangestykke?

Ja, det er jo det samme som 2 x 3.

Riktig! Så det med å gjøre om et plusstykke til et gangestykke kan altså gjøres både med mange tall og med få tall.

Glimrende! Nå begynner du å få tak på dette! Men hva med denne oppgaven: 3 + 3 + 3 + 3. Kan det gjøres om til et gangestykke?

Ja, blir ikke det det samme som å si 3 x 4?

Jo, helt riktig. Så det betyr at det gjøre om plusstykker til gangetall ikke bare kan gjøre med 2-tall, men også med 3-tall?

Ja.

Hvordan tror du det er med andre tall enn 2 og 3? Tror du man kan gjøre det på samme måten der?

Ja, det burde vel gå det?

Hva med 4-tallet? Kan man gjøre det med 4-tallet?

Ja, det burde vel gå det.

Ja, det tror jeg også. Vil du prøve å vise meg det?

Blir det ikke sånn da?  4 + 4 + 4 + 4 betyr det samme som 4 x 4?

Helt riktig. Dette har du forstått. Tror du man kan gjøre dette med alle slags tall?

Ja.

Det har du helt rett i! Men nå har jeg et nytt spørsmål. Hender det noen ganger at tall som legges sammen IKKE kan gjøre om til et gangestykke?

Det er jeg ikke sikker på.

OK. Se på disse tallene: 2 + 5. Hvor mye er det?

Det er 7.

Kan det gjøres om til et gangestykke?

Nei.

Men hvorfor går det ikke her når 2 + 2 kunne gjøres om til 2 x 2?

Nei, det vet jeg ikke.

Hvis du ser på 2 + 2 og 2 + 5, ser du noen forskjell på de to stykkene?

Nei.

Er du enig  at 2 og 2 er like, men at 2  og 5 er forskjellige?

Ja.

Det stemmer! Kan det da tenkes at 2 + 5 IKKE kan gjøres om til et gangestykke fordi de to tallene ikke er like?

Ja.

Nemlig! Greier du å lage et annet eksempel der tallene ikke kan gjøres om til et gangestykke.

Ja, 1 + 2 kan heller ikke gjøres om til et gangstykke.

Og hvorfor ikke det?

Fordi tallene ikke er like.

Riktig! Så da kommer det viktige spørsmålet: Når kan tall som legges sammen gjøres om til et gangestykke?

Det er når tallene er like.

Ja, og når kan de ikke gjøres om til et gangestykke?

Det er når tallene ikke er like.

Flott: Tror du at du skjønner dette bedre enn det du har gjort før?

Ja.

Det var godt å høre. Tror du at du kan klare å forklare meg dette som om jeg aldri hadde skjønt dette?

Ja, du kan gjøre plussstykker om til gangestykker når tallene er like, men ikke når de er forskjellige.

Dette forklarte du helt riktig! Kan du gi meg noen eksempler på dette?

Ja, 2 + 2 kan gjøres om til 2 x 2. Men 1 + 2 kan ikke gjøre om til noe gangetykke.

Dette greide du bra. Da har du lært to ting: Hvordan et plussstykke kan gjøres om til et gangstykke, og når det går eller ikke går. Har du lyst å lære enda mer om dette?

Gjerne det.

Bra! Det siste jeg vil lære deg er dette: Hva er egentlig vitsen med å gjøre om plusstykker til gangestykker? Vet du noe om det?

Nei, egentlig ikke.

Skal jeg forklare deg det?

Gjerne det.

OK. Her har jeg skrevet opp noen 3-tall som skal legges sammen. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Greier du å legge dem sammen.

Det blir 24.

Det gjør det. Kan det gjøres om til et gangestykke?

Ja, det blir det samme som 3 x 8, som også blir 24.

Er ikke 3 x 8 = 24 noe du allerede vet fordi du har lært deg gangetabellen?

Jo.

Hva tror du at du brukte lengst tid på: Å legge sammen tallene eller å gjøre det om til et gangestykke og bruke gangetabellen?

Å legge sammen tallene.

Det stemmer. Da brukte du 15 sekunder, men når du gjorde det om til et gangestykke brukte du 2 sekunder. Så hvis det er snakk om å spare tid, så er det ikke tvil om hva som lønner seg – å gange fremfor å legge sammen. Og det er hele svaret: Vi ganger fremfor å legge sammen, kort og godt fordi det går mye fortere. Når det gjelder 2 + 2 og 2 x 2 så blir det det samme hva du gjør. Det tar like lang tid. Men tenk om du få i oppgave å legge samme 1000 2-tall? Da kan du velge mellom å sitte resten av kvelden og legge sammen 2 tall, ELLER å kjapt si at 2 x 1000 = 2000.
Og slik er det med mye annet i matematikken også, mye dreier seg om gjøre ting på en smarte og raskere måte. Men det rekker jeg ikke å snakke mer om her. Men er du enig i at det å spare tid når man skal regne matteoppgaver kan være lurt?

Ja, det er jeg enig i.

Men jeg vil spørre deg om noe: Tror du at du har lært noe om sammenhengen mellom pluss og ganger som du ikke har skjønt før?

Ja, det tror jeg.

Ja, det tror jeg også. Og det er fordi vi ikke har gått for fort fram. Kunne du tenke deg å lære mer om matematikk på samme måten?

Ja, det er greit det.

Flott, da skal jeg snakke mer med din kontaktlærer om dette, så kan dere sammen finne ut hvordan dere kan få til det. Det kan godt være at du da får tilbud om å være med i en mattegruppe for å få til det. Går det greit om du får tilbud om det?

OK (men det er nok ikke alltid entusiasmen for dette har vært like stor!)

Da sier vi det. Men helt til slutt: For å prøve å få det vi har snakket om her til sitte skal du få en oppgave av meg: Greier du å fortelle meg her og nå noe av det du har lært i dag?
Jeg kan jo prøve.

(Samtidig som eleven forklarer det eleven har lært, supplerer jeg med mine ord der det er nødvendig og som også uttrykker det eleven prøver å forklare).

Så bra. Dette har jo gått strålende. Nå forstår du ting om pluss og ganger jeg tror du før ikke helt har forstått. Nå kommer jeg tilbake igjen neste uke og da skal du få prøve å forklare dette for meg på nytt. Høres det greit ut?

Ja.

Da sees vi.

17. okt, 2016